本福特定律在线测试，https://www.itshenji.com/benfute

本福特（Benford）定律又称第一数字定律，它是数字统计的一种内在规律，指所有自然随机变量，只要样本空间足够大，首位1-9的数字出现的概率在一定范围内具有稳定性，即以1开头的样本占样本总量的30.1%，以2开头的样本占样本总量的17.6%，而以9开头的样本始终只占5%左右（如下图）。

常用于检查各种数据是否有舞弊、造假。

举一个例子

某银行有1000多个储蓄账户，存款金额不等。这些数字的第一位 （非零） 有效数字可能是1到9之间的任何一个。现在，我们设想一下，在上千个存款数据中，第一位数字是1的概率有多大？

大部分人可能很快地回答：应该是1/9吧。因为从1到9，9个数字排在第一位的概率是相等的，每一个数字出现的概率都是1/9，大约11%左右。

这种看似十分正常的思维却与真实的规律相悖。

经研究发现，很多情况下，首位数字是1的概率要比靠直觉预料的11%大得多。数字越大，出现在第一位的概率就越小，数字9出现于第一位的概率只有4.5%左右。各个数字出现在首位的概率遵循图1左图所示的概率分布。从图中可以看出，首位数字为1的概率可达30.1030%，而首位数字为9的概率仅为4.5757%。

这就是本福特定律。

图1：本福特定律（首位数定律）

事实上，本福特定律的发现者并不是本福特，而是美国天文学家西蒙·纽康 （Simon Newcomb，1835 - 1909） 。

纽康在查阅对数表（常用对数编排而成的表格，用以计算）时发现了一个奇怪的现象：包含以1开头的数的那几页比其他页破烂得多，似乎表明计算所用的数值中，首位数是1的概率更高，因此他在1881年发表了一篇文章提到并分析了这个现象，但没有引起人们的注意，直到57年之后的1938年，本福特又重新发现这个现象。

说来令人奇怪，科学定律的发现有时候来自于一些毫不起眼、小得不能再小的现象，本福特的发现便是如此。“以1开头的数字比较多”，这也算是一个定律吗？

本福特发现这种现象不仅仅存在于对数表中，也存在于其它多种数据中，于是，本福特检查了大量数据而证实了这点。

本福特和纽康都从数据中总结出首位数字为n的概率公式是：

其中d取决于数据使用的进位制，对十进制数据而言，d=10。

随后，本福特收集并研究了20229个统计数据，包括河流面积、人口统计、分子及原子重量、物理常数等多种来源的资料，并分成20组。数据来源虽然千差万别，却基本上符合本福特定律，见图2所示的数据表。表中最后一行的数值，是根据本福特概率公式计算得到的每个数字出现于首位的概率，读者可以将它与真实数据相比较。

图2：本福特从大量数据中得到的首位数字概率表

本福特定律适用范围异常广泛，自然界和日常生活中获得的大多数数据都符合这个规律。尽管如此，此规律仍然受限于如下几个因素：

1、这些数据必须跨度足够大，样本数量足够多，数值大小相差几个数量级；

2、人为规则的数据不满足本福特定律，例如按照某种人为规则设计选定的电话号码、身份证号码、发票编号等等。为造假而人工修改过的实验数据、彩票上的随机数据也不符合本福特定律。

如何解释本福特定律？

尽管本福特和纽康都总结出了首位数字的对数规律，但并未给出证明，直到1995年美国学者Ted Hill才从理论上对该定律作出了解释，并进行了严谨的数学证明。虽然本福特定律在许多方面都得到了验证和应用，但对于这种数字奇异现象人们依旧是迷惑不解。到底应该如何直观理解本福特定律？为什么大多数数据的首位数字不是均匀分布而是对数分布的？

有人探求数“数”的方法，来直观解释本福特定律。他们的意思是说，当你计算数字时，顺序总是从1开始的，如果到9就终结的话，所有数字起首的机会都相同，但9之后的两位数10至19，以1起首的数则远多于其它数字。

我们可以用这种方法来理解街道号码 （地址） 一类的数据。一般来说，每条街道的号码都是从1算起，街道长度有限，号码排到某一个数就终止了。另一条街又有它自己的从1开始的号码排列，以此类推，1开头的号码是要多一些的。但这种解释也太不“数学”了！况且，这种理解无法说明另外一类数据为什么也符合本福特原则，如“物理常数”的集合、出生率、死亡率等，这些数据并不是从1开始计算到有限长度就截止的那种数据。

另一种解释是认为本福特定律的根源是由于数据的指数增长。指数增长的序列，数值小的时候增长较慢，由最初的数字1增长到另一个数字2，需要更多时间，所以出现率就更高了。

举个例子来说明这个道理：如果你有100美元的存款，年利率是10%，25年中，你每年的存款金额将是 （只保留了整数部分） ：

100、110、121、133、146、161、177、195、214、236、259、285、314、345、380、418、459、505、556、612、673、740、814、895、985

这是一个指数增长的序列。在这组数据的25个数字中，首位数字为1的有8个 （32%） ；2的4个；3的3个……9的只有1个 （4%） 。这是因为从首位为1增加到首位为2，经过了更长的时间 （8年） ；从首位为2，只经过了4年就变成了首位为3；而首位为9的话，下一年又变成了1。所以，指数增长规律的数列的确符合本福特定律。

读者也许会有疑问：上面的数列选择从100开始，1打头的比较多，如果从别的数字开始，规律是否会改变呢？读者可以试验一下，得到的结果仍符合本福特法则。此外，你还可以将美元换算成人民币 （乘以6.7） ，得到的数据仍然会遵循本福特定律，这也说明本福特定律具有“尺度不变性”。

帮助侦破“数据造假”

由于大多数财务方面的数据都满足本福特定律，因此，在现实生活中，它可以用作检查财务数据是否造假！

美国华盛顿州曾侦破过一个当时最大的投资诈骗案，金额高达1亿美元。

诈骗主谋凯文·劳伦斯及其同伙以创办高技术含量的连锁健身俱乐部为名，向5000多个投资者筹集了大量资金。随后，他们挪用公款以作自身享乐。为了掩饰他们的不法行为，他们将资金在海外公司和银行间进行频繁转账，并且人为做假账，制造一种生意兴隆的错觉。

所幸，当时有一位名为Darrell Dorrell的会计师感觉不对头，他将70000多个与支票和汇款有关的数据收集起来，将这些数据首位数字发生的概率与本福特定律相比较，发现这些数据无法通过本福特定律的检验。最后经过了3年的司法调查，终于拆穿了这个投资骗局，2002年，劳伦斯被判20年牢狱。

2001年，美国最大的能源交易商安然公司 （Enron Corporation） 宣布破产，并传出公司高层管理人员涉嫌做假账的传闻。据传，安然高层改动过财务数据，因而他们所公布的2001-2002年每股盈利数据不符合本福特定律  。此外，本福特定律也被用于股票市场分析、检验选举投票欺诈行为等。

图3：安然公司数据vs本福特定律（图片来源： The wall street journal  ）

本福特定律适用场景
1、通过多个数据集运算形成的。例如：应收账款=销售量*单价，应付账款=采购量*单价。
2、真实交易数据，交易量、重量等。
3、大数据量，可观测的数据越多可能越符合。例如：全年的交易数据。
4、符合下面规律的会计科目：当一组数字的平均数大于中位数，且偏差为正。例如：大部分的会计科目。

本福特定律不适用场景
1、数据集合是标志性的编号。例如：对账单号、发票号、邮政编码。
2、数字会受到人为影响。例如：商家营销手段，通常会把2000元的商品标价1999。
3、数据集合包含大量公司特定的数字。例如：用来记录100美元退款的账户。
4、数据集合设定有最大值、最小值的门槛。例如：某类资产必须大于多少金额才会被记录。

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